素数って何だ？

０から９までの10個の数字。これらの組み合わせでできる無数の数。数にも色々な表情があります。

        １２３４５６７８９　順に並んだ数

        １２３４５４３２１　「しんぶんし」のように始めから読んでも後ろから読んでも同じ数

まだまだ私たちの周りには、日常お目にかかる数がたくさんあります。

これらの数の中で、1とその数自身以外はどんな数でも割れない数があります。

それが『素数』といわれる数です。

次の『エラトステネスのふるい』の研究は、１９８２年１月１７日に東京文化会館大会議室において東京珠算教育連盟主催の研究発表会が開催された際、私が「おもしろい 答えになるかけざん」を発表するために研究した素数の見つけ方です。

『エラトステネスのふるい』の研究

　１より大きい整数は、素数と合成数に分類することができます。素数とは、１より大きい整数の中で、１とその数自身以外に約数をもたない数をいいます。合成数とは、 素数でない数、つまり１とその数自身以外の約数をもつ数をいい、「ａ×ｂ」の式で表すことができます。（ａもｂも、０および１ではない）

　次に「数学小事典」（矢野健太郎編）を参考に『エラトステネスのふるい』という素数の見つけ方を行ないましょう。

　エラトステネスという人は、B.C.275〜194のギリシアの数学者で、詩人でもありました。この素数の見つけ方は、次のように順々に合成数をふるい落としていく方法です。 これから調べるのは、1〜50までの整数です。そこで、調べる最後の数50の平方根が7〜8の間にあるので、今回は7の倍数まで消せばよいことになります。では、エラトステ ネスのふるいを始めましょう。

手順

（１）まず、1は素数でないから消します。

（２）2を残して、2の次から二つ目ごとに並ぶ数を消します。これによって2の倍数は全部消されます。

（３）3を残して、3の次から三つ目ごとに並ぶ数を消します。これによって3の倍数は全部消されます。

（４）5を残して、5の次から五つ目ごとに並ぶ数を消します。これによって5の倍数は全部消されます。

（５）7を残して、7の次から七つ目ごとに並ぶ数を消します。これによって7の倍数は全部消されます。

（６）1〜50の整数のうち素数は、上の作業によって残った数です。

以上が『エラトステネスのふるい』という方法ですが、省略できるところがあります。

　まず、2の倍数（偶数）は最初から書かないで、奇数を並べます。また、1の位が5になる数は5の倍数ですから、これも書かないようにします。すると次のようになります。

研究課題１・・・2の倍数（偶数）と5の倍数を省略する

2と5は素数

手順

（１）まず、1は素数でないから消します。

（２）3の倍数を消すには、3を2倍した6を3に加えます。3+6=9で9を消します。次は、9+6=15です。15は書かれていません。次は、15+6=21で21を消します。次は、 21+6=27で27を消します。・・・このように、次々と6を加えた数を消していけば、3の倍数を全部消すことができます。

（３）同様に、7の倍数を消すには、7を2倍した数14を次々と加え、その数を消していきます。

このように、一の位が１・３・７・９の数を並べておくと、2の倍数と5の倍数が省略できて、早く素数を知ることができます。

　それでは、エラトステネスのふるいと今の方法との合成数の消し方を比較してみましょう。

ある素数をＰとします。

　左の場合は、偶数倍された数、つまり2の倍数まで消していくことになります。右の場合は、ある素数ＰにＰを2倍した数を次々と加えることにより、ある素数の奇数倍 の数がわかります。

　それでは、Ｐに素数を代入してみましょう。

Ｐ＝７の場合

　左の場合は、１４，２１，２８，３５，４２・・・と消していきます。つまり、７の２倍、３倍、４倍、５倍、６倍・・・というように、7の倍数を消していくわけです。

　右の場合は、２１，３５，４９，６３，７７・・・と消していきます。これは、７の３倍、５倍、７倍、９倍、１１倍・・・というように、7の倍数を消していくわけです。

　それでは、次に2の倍数のほかに、3の倍数も省略した方法を行なってみましょう。

研究課題２・・・2の倍数と3の倍数を省略する

　3の倍数を省略するために、次の「Ｘ」と「Ｙ」に整数を入れていきます。

３Ｘ＋２　・・・　Ｘは奇数

３Ｙ＋１　・・・　Ｙは偶数

Ｘ＝１のときは５、Ｙ＝２のときは７、Ｘ＝３のときは１１、Ｙ＝４のときは１３・・・これを並べると次のようになります。

横に１０個ずつ並べることにより、上段と下段の数の差はそれぞれ30になります。

こうすれば、2の倍数と3の倍数を省略することができます。また、水色で塗られた縦の列は5の倍数ですので省略します。それでは次にこれを使った素数の見つけ方を 行ないます。

　２と３と５は素数であることがわかっているものとします。

手順

（１）まず、7の倍数を消すために7を2倍した数14と、4倍した数28を用意します。

（２）最初は4倍したほうの28を7に加えます。7+28=35ですが、これは5の倍数ですので書かれていません。

（３）次は2倍したほうの14を35に加えます。35+14=49で49を消します。

（４）次は4倍したほうの28を49に加えます。49+28=77で77を消します。

（５）次は2倍したほうの14を77に加えます。77+14=91で91を消します。

　このように、2倍した数と4倍した数を交互に加えていき、その数を消していきます。同様に、11の倍数を消すには、22と44を交互に加えて消していきます。ところが、 2倍した数と4倍した数のどちらを先に加えたらよいのかが問題です。これについてはあとでとりあげることにします。

　それでは、前に行なった「2の倍数を省略した方法」と今回の「2の倍数と3の倍数を省略した方法」との合成数の消し方を比較してみましょう。

ある素数をＰとします。

右の「2の倍数と3の倍数を省略した方法」は、ある素数Ｐを4倍した数（４Ｐ）と2倍した数（２Ｐ）を交互に加えることにより、3の倍数を省略することができます。

　それではＰに素数を代入してみましょう。

Ｐ＝７の場合

　左の場合は、２１，３５，４９，６３，７７，９１･･･と消していきます。つまり、７の３倍、５倍、７倍、９倍、１１倍、１３倍・・・というように、７を奇数倍 した数を消していくわけです。

　右の場合は、３５，４９，７７，９１，１１９，１３３・・・と消していきます。これは、７の５倍、７倍、１１倍、１３倍、１７倍、１９倍・・・というように、 ７の奇数倍から７の３Ｎ倍（Ｎは奇数）を除いた数を消していくわけです。

　しかし、ある素数Ｐの二乗より小さい合成数は、Ｐより小さい素数の倍数として消されています。Ｐ＝７を例にすると、７を二乗した４９までの7の倍数は、１４， ２１，２８，３５，４２の五つですが、１４，２８，４２は2の倍数、２１は3の倍数、３５は5の倍数というように、いずれも７より小さい２，３，５の倍数です。 したがって、７の倍数を消すには、７を二乗した数４９から消していきます。では、次に消す数は何か？ここで、前に問題となった「２倍した数と４倍した数のどち らを先に加えるのか」を考えてみましょう。

7の倍数を消す

7のとなりに書かれた数１１から７を引きます。それに７をかけた数２８を４９（７を二乗した数）に加えます。そして、７７を消すわけです。これを式にあらわすと、 ７^２＋７×（１１−７）＝７７　となります。この次からは１４と２８を交互に加えた数を消していきます。

11の倍数を消す

同様に、11の倍数を消すには、11を二乗した数１２１を消します。次は、となりの１３から１１を引いて１１にかけた数２２を１２１に加え、１１^２＋ １１×（１３−１１）＝１４３　で１４３を消します。次は、１４３＋４４＝１８７で１８７を消し、１８７＋２２＝２０９で２０９を消すという具合です。

ある素数をＰとし、そのとなりに書かれた数をＰ’として、Ｐ^２の次に何を消すのかをまとめると次のようになります。

　　　　　Ｐ^２＋Ｐ×（Ｐ’−Ｐ）

＝Ｐ^２＋Ｐ×Ｐ’−Ｐ^２

　

＝Ｐ×Ｐ’

上のようにＰ^２の次に消す数は、Ｐ×Ｐ’とまとめられます。つまり、ある素数Ｐとそのとなりに書かれた数Ｐ’をかけた数を消せばよいわけです。

そして次に消す数ですが、（Ｐ’−Ｐ）には２の場合と４の場合があります。（Ｐ’−Ｐ）が２のときはＰ×Ｐ’を消した後、Ｐ×Ｐ’＋４Ｐを消します。また、 （Ｐ’−Ｐ）が４のときはＰ×Ｐ’を消した後、Ｐ×Ｐ’＋２Ｐを消します。

次にいくつか例をあげます。

ここで２３と３１の倍数を消すときのカッコの中に省略した５の倍数、２５や３５がでてきます。ですから、最初に2の倍数と3の倍数を省略して数を並べるときに、 5の倍数も省略しましたが、この「二番目に消す数」を計算するときに省略した5の倍数も使うので、注意が必要です。

以上のように『エラトステネスのふるい』をもとに、『2の倍数と3の倍数を省略した方法』を考えてみました。