おもしろい答えになるかけざん No.1
<< はじめに >>
私たちが日常使用している0〜9の数字を組み合わせてできる234,234や67,876などのような数をそろばんにおくと模様のようにきれいに見えます。 これらのような数を答えとする問題は、たしざんやひきざんなら最後の方で数を調整すればできます。では「かけざん」の場合はどうすればよいのでしょうか? それには答えとする数を素因数分解し、その素数の組み合わせで問題を作ればよいのです。これから色々な問題を載せますので、そろばんや電卓、パソコンなどで 計算してみてください。
<< 規則的に並ぶ数 >>
ABABABの場合(2桁が3回連続)
10101×AB となり、10101がもとになります。この10101という数は、次のように素因数分解されます。
3×7×13×37=10101
この素因数、3,7,13,37のかけ合わせによって、かけられる数・かける数のどちらかを決めます。
例えば、13×37=481 ですから、この481をかけられる数とします。そして、481×21=10101 となるので、 かける数は21に任意の2桁の数をかけて問題を作ります。
他には、3×7×13=273 ですから、273をかけられる数とします。そして、273×37=10101 となるので、 かける数は37に任意の2桁の数をかけて問題を作ります。
その他、7×37=259 ですから、259をかけられる数とします。そして、 259×39=10101 となるので、かける数は39に任意の2桁の数をかけて問題を作ります。
問題例
481×210= | 273×740= | 259×1,170= |
481×231= | 273×777= | 259×1,209= |
481×252= | 273×814= | 259×1,248= |
481×273= | 273×851= | 259×1,287= |
481×294= | 273×888= | 259×1,326= |
481×315= | 273×925= | 259×1,365= |
481×336= | 273×962= | 259×1,404= |
481×357= | 273×999= | 259×1,443= |
481×378= | 273×1,036= | 259×1,482= |
481×399= | 273×1,073= | 259×1,521= |
上の問題はほんの一例です。かける数を481にした場合、101010〜999999まで90種類、273にした場合も90種類、259にした場合も同様です。 さらに、25,641×39=999,999のような問題も考えるとたくさんできますね。
上のように答えが6桁になる2桁が3回連続の他に、答えが14桁になるものまでもととなる素因数分解の結果を載せておきます。 たくさんの問題を作ってみましょう。
ABCABCの場合(3桁が2回連続) | 7×11×13=1001 |
ABCDABCDの場合(4桁が2回連続) | 73×137=10001 |
ABABABABの場合(2桁が4回連続) | 73×101×137=1010101 |
ABCABCABCの場合(3桁が3回連続) | 3×333667=1001001 |
ABABABABABの場合(2桁が5回連続) | 41×271×9091=101010101 |
ABCDABCDABCDの場合(4桁が3回連続) | 3×7×13×37×9901=100010001 |
ABCABCABCABCの場合(3桁が4回連続) | 7×11×13×101×9901=1001001001 |
ABABABABABABの場合(2桁が6回連続) | 3×7×13×37×101×9901=10101010101 |
ABABABABABABABの場合(2桁が7回連続) | 239×4649×909091=1010101010101 |
例題 8039091713×4649=37373737373737
<< 素因数分解 >>
ここでは、あらかじめ答えを決めておいて、それを素因数分解し、その素因数のかけ合わせによって問題を作りましょう。例として素因数分解のやり方を載せておきます。
(例) 112233を答えとします。
3)112233 |
11) 37411 |
19) 3401 |
179 |
112233を小さい素数でわっていきます。
112233は、2ではわれない。3でわれる。
つぎに 37411は3でわれない。5でわれない。7でわれない。11でわれる。
つぎに 3401は11でわれない。13でわれない。17でわれない。19でわれる。
最後の179は19の二乗より大きいので素数です。
したがって、 112233=3×11×19×179 となります。
そこで、問題を作ってみると、
11×19 と 3×179 にすると 209×537 という問題になります。
3×11×19 と 179 にすると 627×179 という問題になります。
このような具合に問題を作れるように、素因数分解した結果を載せておきますので、色々かけあわせてたくさんの問題を作ってみましょう。
答えにする数 | 素因数分解の結果 | |
123 | = | 3×41 |
234 | = | 2×32×13 |
345 | = | 3×5×23 |
456 | = | 23×3×19 |
567 | = | 34×7 |
678 | = | 2×3×113 |
789 | = | 3×263 |
890 | = | 2×5×89 |
987 | = | 3×7×47 |
876 | = | 22×3×73 |
765 | = | 32×5×17 |
654 | = | 2×3×109 |
543 | = | 3×181 |
432 | = | 24×33 |
321 | = | 3×107 |
210 | = | 2×3×5×7 |
1234 | = | 2×617 |
2345 | = | 5×7×67 |
3456 | = | 27×33 |
4567 | = | 素数 |
5678 | = | 2×17×167 |
6789 | = | 3×31×73 |
7890 | = | 2×3×5×263 |
9876 | = | 22×3×823 |
8765 | = | 5×1753 |
7654 | = | 2×43×89 |
6543 | = | 32×727 |
5432 | = | 23×7×97 |
4321 | = | 29×149 |
3210 | = | 2×3×5×107 |
12345 | = | 3×5×823 |
23456 | = | 25×733 |
34567 | = | 13×2659 |
45678 | = | 2×3×23×331 |
56789 | = | 109×521 |
67890 | = | 2×3×5×31×73 |
98765 | = | 5×19753 |
87654 | = | 2×3×7×2087 |
76543 | = | 素数 |
65432 | = | 23×8179 |
54321 | = | 3×19×953 |
43210 | = | 2×5×29×149 |
123456 | = | 26×3×643 |
234567 | = | 32×67×389 |
345678 | = | 2×3×17×3389 |
456789 | = | 3×43×3541 |
567890 | = | 2×5×109×521 |
987654 | = | 2×3×97×1697 |
876543 | = | 3×292181 |
765432 | = | 23×32×10631 |
654321 | = | 3×218107 |
543210 | = | 2×3×5×19×953 |
1234567 | = | 127×9721 |
2345678 | = | 2×23×50993 |
3456789 | = | 3×7×97×1697 |
4567890 | = | 2×3×5×43×3541 |
9876543 | = | 3×227×14503 |
8765432 | = | 23×13×89×947 |
7654321 | = | 19×402859 |
6543210 | = | 2×3×5×218107 |
112233 | = | 3×11×19×179 |
223344 | = | 24×33×11×47 |
334455 | = | 3×5×11×2027 |
445566 | = | 2×3×11×43×157 |
556677 | = | 32×11×5623 |
667788 | = | 22×3×11×5059 |
778899 | = | 3×11×23603 |
998877 | = | 3×11×30269 |
887766 | = | 2×3×11×13451 |
776655 | = | 33×5×11×523 |
665544 | = | 23×3×11×2521 |
554433 | = | 3×11×53×317 |
443322 | = | 2×32×11×2239 |
332211 | = | 3×11×10067 |
111999 | = | 3×37×1009 |
222888 | = | 23×3×37×251 |
333777 | = | 3×31×37×97 |
444666 | = | 2×3×37×2003 |
666444 | = | 22×3×19×37×79 |
777333 | = | 3×37×47×149 |
888222 | = | 2×3×37×4001 |
999111 | = | 3×37×9001 |
11223344 | = | 24×11×43×1483 |
22334455 | = | 5×11×13×31237 |
33445566 | = | 2×32×7×11×59×409 |
44556677 | = | 112×17×21661 |
55667788 | = | 22×11×1265177 |
66778899 | = | 3×11×2023603 |
99887766 | = | 2×3×11×31×48821 |
88776655 | = | 5×11×47×61×563 |
77665544 | = | 23×112×80233 |
66554433 | = | 33×11×23×9743 |
55443322 | = | 2×11×2520151 |
44332211 | = | 72×11×233×353 |
123456789 | = | 32×3607×3803 |
987654321 | = | 32×172×379721 |
123454321 | = | 412×2712 |
12345678987654321 | = | 34×372×3336672 |
123456789987654321 | = | 32×11×37×41×271×9091×333667 |
987654321123456789 | = | 32×11×37×79×139×73589×333667 |
123456789123456789 | = | 32×7×11×13×19×3607×3803×52579 |
987654321987654321 | = | 32×7×11×13×172×19×52579×379721 |
102030405060708090807060504030201 | = | 34×72×132×192×372×525792×3336672 |
1234567898765432112345678987654321 | = | 34×11×372×103×4013×3336672×21993833369 |
1122334455667788998877665544332211 | = | 34×72×11×132×192×372×525792×3336672 |